infortunio non in itinere chi paga?

Nel caso di infortunio dovuto ad incidente stradale non avvenuto recandosi o tornando dal lavoro chi paga nel mio caso i 30 giorni di convalescenza?L'inail dice che in questo caso non è loro competenza!Non si è pagati?

L'INPS ti pagherà la malattia, ma non è un infortunio a carico dell'INAIL proprio perché non è avvenuto né sul luogo di lavoro né lungo il tragitto abituale casa-lavoro o lavoro-casa.

Il problema è che la scuola mi ha richiesto solo il certificato con la prognosi del pronto soccorso e non quello del mio medico!

Aggiungi il certificato del medico, che dichiarerà il periodo di convalescenza necessario.
Il certificato del medico di famiglia deve essere spedito in via telematica, quindi una copia arriva direttamente all'INPS.
Se non è organizzato (il 10% dei medici italiani non lo è) spedisci con A.R. all'INPS la parte del certificato medico in cui il sanitario avrà scritto probabilmente "gg. Xy di convalescenza a seguito di incidente stradale" o qualcosa del genere. Alla scuola vanno trasmessi semplicemente i giorni, non la diagnosi...

il periodo partiva dal 13 fin'ora sono stata scoperta perchè la scuola ha sbagliato la pratica se lo mando ora si può recuperare?

E' dura... deve essere trasmesso il prima possibile, e comunque entro il 3° giorno, come qualsiasi certificato x malattia.
Cerca di parlare col D.S.
Se non trova una copertura (nello strano caso ammetta che l'errore è della Segreteria) rivolgiti ad un sindacato. Di solito hanno entrature all'ufficio provinciale INPS e potrebbero consigliarti bene in via informale.